​费马点定理的证明与补充

费马点定理的证明与补充

定理的证明

定理推广

费马点结论

以下内容可以不看，因为本人第一次头条发文章，数学类文章，公式经常被系统识别为图片，实在难以编辑，故把自己word里复制在下面，跟上文完全相同----------------------------------------.

费马点定理的证明与补充

1.三角形三个内角均小于120°的情况：

·费马点定理：如果在△ABC内角均小于120°，P为平面内任意一点，若点O对于三边的张角都是120°，则≤（仅当O、P重合时取等号）

证明：过A、B、C分别作OA、OB、OC的垂线，设交于、、，如图所示，则O、B、C、四点共圆，由∠BOC=120°，则∠.

同理∠，故△为正三角形.

设其边长为，则

（因为斜线段大于垂线段）

∴≤.

2.三角形某内角≥120°的情况：

推论：若△中∠≥120°，为平面内任意一点，则≤（只有当、重合时取等于号）.

证明：（1）当∠120°时，在△ABC外做∠,连接、，如右图所示，由费马点定理可得

即.

（2）当∠＞120°时，在∠内做∠，交于，连接，如右图所示，由（1）有结论：

又,

两不等式左右 分别相加得：

.

综上所述：若△中∠≥120°，则点为费马点，若内角都小于120°，则三角形内部与三边张角均为120°的点为费马点.